К содержанию
1.4. БЕСКОНЕЧНОСТЬ: ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ И АКТУАЛЬНАЯ
С точки зрения математики бесконечно большая величина - это величина,
которая все время возрастает, но никогда не достигает какого-либо определенного
значения: n(t)>? при t>?. Такая бесконечность называется потенциальной,
потому что она существует лишь в принципе; ее геометрический образ - прямая,
неограниченно продолженная в обе стороны. Но математики могут прекрасно
обходиться и без часов, необходимых для измерения времени, тайно содержащегося
в символе n>?, что позволяет им обходиться для обозначения бесконечно
большой величины упрощенной записью: n=?. Такая бесконечность называется
актуальной, поскольку она как бы завершена к моменту, когда мы ей воспользовались;
ее геометрический образ - любой конечный отрезок прямой, состоящей из
бесконечного множества бесконечно малых математических точек.
Какая бесконечность более "правильная"? По сути дела, эта проблема
была поставлена еще в знаменитых апориях Зенона (например, "Ахилл
и черепаха"), но спор математиков (а также логиков и философов) на
эту тему не завершен до сих пор. А вот физики зачастую не делают никаких
различий между потенциальной и актуальной бесконечностями и очень раздражаются,
когда в результате вычислений получают бесконечно большие величины, называемые
расходимостями. И делают грубейшую ошибку, подменяя их просто очень большими,
но конечными числами.
Вместе с тем не следует забывать, что для экспериментатора бесконечно
больших (равно как и бесконечно малых) величин действительно не существует,
он всегда получает конечные результаты, а хвост бесконечности упрятывает
в ошибку с помощью теории вероятности. Что же касается бесконечностей,
с которыми имеет дело теоретик, то к ним можно относиться двояко: считать
их либо потенциальными, либо актуальными.
Потенциальная бесконечность поддается так называемой калибровке, ее можно
в любой момент приравнять к нулю и начать отсчет сызнова, с t0=0; актуальная
бесконечность такой процедуре не поддается, поскольку вообще существует
вне времени и, соответственно, вне реальной физики.
|